北邮 课件\下册讲稿(杨鸿文)\LN9-20070424.pdf

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04104-106通信原理II第九讲


April 24, 2007


我们所说的循环码是：循环+线性。首先它是线性分组码，任何两个合法码
字之和还是合法码字；其次，任何一个码字的循环移位也是码字。因此循环码
是线性分组码的一个子集。
在线性分组码中，我们用向量来描述码字，使得可以用线性代数的数学工具
来研究它。对于循环码，还可以用多项式这样的数学工具。


1 多项式
可以把一个码字用多项式来描述：例如1101可以描述为x3 + x2 + 1，0101则
是x2 + 1。长为n的码字将对应一个次数不超过n 1的多项式：
n1
c(x) = cn1 xn1 + cn2 xn2 + + c1 x + c0 = ci xi (1)
i=0

约定码字向量c = (cn1 , cn2 , , c0 )中从左到右的比特对应多项式中次数从
高到低的项。当然这只是约定的一种，有些研究人员更喜欢相反的次序，比如
将1101表达为1 + x + x3 。
式(1)中多项式的系数取值于GF(2)，称这个多项式是系数在GF(2)上的多项
式。类比我们以前所学的多项式知识：如果多项式的系数规定只能是整数，就
叫整系数多项式，如2x4 + x 1；如果系数只能是实数，就叫实系数多项式，
2 3
如3x4 + √
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